Covarianza y correlación en conjuntas discretas

Al terminar podrás

Obtener las marginales de una tabla conjunta.
Calcular E(X), E(Y), E(XY), Cov(X, Y) y ρ en el orden correcto.
Decidir si dos variables son independientes e interpretar ρ.

Una tabla, dos variables

Una distribución conjunta discreta da la probabilidad de cada pareja de valores: P(X = x, Y = y). Todas son mayores o iguales a 0 y suman 1.

El orden de trabajo que conviene seguir siempre es: marginales → E(X), E(Y), E(XY) → Cov → V(X), V(Y) → σ → ρ → interpretación.

p_X(x) = \sum_y p(x,y) \qquad p_Y(y) = \sum_x p(x,y)

En la tabla: la marginal de X es la suma de cada fila; la de Y, la suma de cada columna.

E(XY) = \sum_x \sum_y x\,y\,p(x,y)

E(X) y E(Y) salen de las marginales. E(XY) sale de la conjunta, recorriendo todos los pares.

\mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \qquad \rho = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y}

−1 ≤ ρ ≤ 1. Si te sale fuera de ese rango, hay un error de captura.

Ejemplo resuelto

X = 1 si un cliente usa la app de un banco (0 si no). Y = número de productos que contrata (0, 1 o 2). Tabla: P(0,0) = 0.30, P(0,1) = 0.10, P(0,2) = 0.10, P(1,0) = 0.05, P(1,1) = 0.15, P(1,2) = 0.30.

1. Marginales. Filas: P(X=0) = 0.50, P(X=1) = 0.50. Columnas: P(Y=0) = 0.35, P(Y=1) = 0.25, P(Y=2) = 0.40.
2. Esperanzas con las marginales.
$E(X) = 0.5,\quad E(Y) = 0(0.35) + 1(0.25) + 2(0.40) = 1.05$
3. E(XY) con la conjunta (solo cuentan los pares con x·y ≠ 0).
$E(XY) = 1\cdot1\cdot0.15 + 1\cdot2\cdot0.30 = 0.75$
4. Covarianza.
$\mathrm{Cov} = 0.75 - (0.5)(1.05) = 0.225$
5. Varianzas.
$V(X) = 0.5 - 0.25 = 0.25,\quad V(Y) = 1.85 - 1.05^2 = 0.7475$
6. Correlación.
$\rho = \frac{0.225}{\sqrt{0.25}\,\sqrt{0.7475}} \approx 0.5205$

Interpretación: Relación lineal moderada y creciente: quienes usan la app tienden a contratar más productos. No dice que la app cause la contratación; solo describe la asociación.

Independencia y covarianza

Si X y Y son independientes, entonces Cov = 0. Pero Cov = 0 no implica independencia: la covarianza solo detecta relación lineal. Para concluir independencia debe cumplirse p(x,y) = p(x)·p(y) en todos los pares; basta uno que falle para que sean dependientes.

El mismo cálculo en R

p <- matrix(c(0.30, 0.10, 0.10,
              0.05, 0.15, 0.30), nrow = 2, byrow = TRUE)
x <- c(0, 1); y <- c(0, 1, 2)
sum(p)                      # debe dar 1
px <- rowSums(p); py <- colSums(p)   # marginales
Ex <- sum(x * px); Ey <- sum(y * py)
Exy <- sum(outer(x, y) * p)         # todos los pares x*y*p(x,y)
cov <- Exy - Ex * Ey
Vx <- sum(x^2 * px) - Ex^2; Vy <- sum(y^2 * py) - Ey^2
rho <- cov / sqrt(Vx * Vy)
all.equal(p, outer(px, py))   # TRUE solo si son independientes

outer(x, y) arma la tabla de productos x·y en el mismo orden que p, así que no hay que listar los pares a mano.

Errores comunes

Calcular E(XY) como E(X)·E(Y).: Solo coinciden si son independientes. E(XY) se calcula con la conjunta.
Dividir la covarianza entre las varianzas.: ρ usa las desviaciones estándar: σ = √V.
Concluir independencia porque un par cumple p(x,y) = p(x)p(y).: Tiene que cumplirse para todos los pares.
Redondear a medio proceso.: Arrastra todos los decimales y redondea solo el resultado final.

Practicar este tema